Вся теория · VARIANT · Образовательная платформа

−2…5

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Числа и координатная прямая

Модуль, расстояние, середина отрезка и сравнение чисел

Числовая прямая

Каждому действительному числу соответствует точка на прямой. Чем правее находится точка, тем больше число. Отрицательные числа лежат левее нуля.

\[a<b\ \Longleftrightarrow\ a\text{ левее }b\]

ПРИМЕР

Например, −5 < −2 < 0 < 3.

Обрати внимание

Не путай знак числа и его расстояние до нуля: −8 меньше −3, хотя |−8| больше.

Модуль

Модуль числа — расстояние от точки до нуля; это неотрицательное число. Для положительного числа модуль совпадает с числом, для отрицательного равен противоположному.

\[\begin{aligned}|a|=\begin{cases}a,&a\geqslant0\\-a,&a<0\end{cases}\end{aligned}\]

ПРИМЕР

|−9| + |4| = 9 + 4 = 13.

Обрати внимание

Модуль не может быть отрицательным.

Расстояние между точками

Расстояние между точками на числовой прямой находится как модуль разности их координат. Порядок вычитания не влияет на результат.

\[AB=\left|x_2-x_1\right|\]

ПРИМЕР

Если A(−7), B(5), то AB = |5 − (−7)| = 12.

Обрати внимание

Не складывай координаты вместо их разности.

Середина отрезка

Координата середины двух точек на прямой равна среднему арифметическому их координат.

\[x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2}\]

ПРИМЕР

Между A(−6) и B(2) середина имеет координату \(\dfrac{(-6 + 2)}{2}\) = −2.

Обрати внимание

На числовой прямой одна координата; в плоскости нужно усреднять и x, и y.

Промежутки и целые точки

Круглая скобка означает, что граница не включена; квадратная — включена. При подсчёте целых чисел обязательно проверь обе границы.

\[(a;b):\ a<x<b\qquad [a;b]:\ a\leqslant x\leqslant b\]

ПРИМЕР

Между −2 и 3 строго находятся целые −1, 0, 1, 2: всего 4.

Обрати внимание

Слова «строго между» исключают обе крайние точки.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Числа и координатная прямая →

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Вычисления

Дроби, проценты, порядок действий и средние значения

Порядок действий

Сначала выполняют действия в скобках, затем степени и корни, далее умножение и деление, затем сложение и вычитание. В действиях одинакового приоритета идут слева направо.

\[(18-6)\div3+2^3=4+8=12\]

ПРИМЕР

Проверь: 12 : 3 = 4, и 4 + 8 = 12.

Обрати внимание

Нельзя сначала складывать, если ещё не выполнено умножение.

Обыкновенные дроби

При сложении и вычитании дробей сначала приведи их к общему знаменателю. При умножении перемножай числители и знаменатели; деление на дробь заменяй умножением на обратную.

\[\dfrac ab+\dfrac cb=\dfrac{a+c}{b}\qquad \dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac{ad}{bc}\]

ПРИМЕР

\(\dfrac{3}{4}\) + \(\dfrac{1}{8}\) = \(\dfrac{6}{8}\) + \(\dfrac{1}{8}\) = \(\dfrac{7}{8}\).

Обрати внимание

Знаменатели при сложении не складываются.

Десятичные дроби

При сложении и вычитании записывай десятичные запятые друг под другом. При умножении сначала умножь как целые числа и затем верни нужное количество знаков после запятой.

\[1{,}2\cdot0{,}5=0{,}6\]

ПРИМЕР

2,4 : 0,6 = 24 : 6 = 4.

Обрати внимание

Переноси запятую в делимом и делителе на одинаковое число разрядов.

Проценты

Один процент — одна сотая часть числа. Чтобы найти p% числа a, умножь a на \(\dfrac{p}{100}\). После скидки p% остаётся (100−p)% цены.

\[p\%\text{ от }a=\dfrac{ap}{100}\qquad a_{\text{после}}=a\left(1-\dfrac p{100}\right)\]

ПРИМЕР

Скидка 15% от 800 руб. равна 120 руб.; новая цена — 680 руб.

Обрати внимание

Скидка 20% и затем повышение 20% не возвращают старую цену.

Среднее арифметическое

Сложи все значения и раздели на количество слагаемых. Среднее подходит для количественных данных, когда они рассматриваются как равноценные.

\[\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\]

ПРИМЕР

Для 4, 7, 10 среднее равно \(\dfrac{21}{3}\) = 7.

Обрати внимание

Не дели на количество различных чисел, если в наборе есть повторы.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Вычисления →

√x

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Степени и корни

Законы степеней, арифметический корень и формулы сокращённого умножения

Степень с целым показателем

При умножении одинаковых оснований показатели складывают; при делении (если основание не ноль) — вычитают. Степень степени получается умножением показателей.

\[a^m\cdot a^n=a^{m+n}\qquad \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\qquad (a^m)^n=a^{mn}\]

ПРИМЕР

2⁷ : 2⁴ = 2³ = 8.

Обрати внимание

Нельзя складывать показатели при сложении: 2² + 2³ ≠ 2⁵.

Нулевой и отрицательный показатели

При a≠0 нулевая степень равна единице. Отрицательный показатель означает обратное число в соответствующей положительной степени.

\[a^0=1\qquad a^{-n}=\dfrac1{a^n},\ a\ne0\]

ПРИМЕР

5⁻² = \(\dfrac{1}{25}\).

Обрати внимание

0 в отрицательную степень возводить нельзя.

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из a≥0 — единственное неотрицательное число, квадрат которого равен a.

\[\sqrt{a^2}=|a|\]

ПРИМЕР

√144 = 12; √((−5)²) = 5.

Обрати внимание

Не забывай модуль в равенстве √(a²)=|a|.

Корни и произведения

Для неотрицательных чисел корень из произведения равен произведению корней. Для суммы аналогичного правила нет.

\[\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b\quad (a,b\ge0)\]

ПРИМЕР

√(9·16)=3·4=12.

Обрати внимание

√(a+b) обычно не равно √a+√b.

Формулы сокращённого умножения

Используй формулы для быстрого раскрытия скобок и разложения многочленов на множители.

\[\begin{aligned}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\a^2-b^2=(a-b)(a+b)\end{aligned}\]

ПРИМЕР

(x+3)²=x²+6x+9.

Обрати внимание

Средний член 2ab при возведении суммы в квадрат обязателен.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Степени и корни →

x = ?

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Уравнения

Линейные, квадратные, дробные, с модулем и системы

Линейное уравнение

Цель — получить x в одной части, числа в другой. Перенос члена через знак равенства меняет его знак. После переноса раздели на коэффициент при x.

\[ax+b=c\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{c-b}{a},\ a\ne0\]

ПРИМЕР

3x+4=19 ⇒ 3x=15 ⇒ x=5.

Обрати внимание

Перенося +4 вправо, записывай −4, а не +4.

Уравнения со скобками

Сначала раскрой скобки, затем приведи подобные слагаемые. При минусе перед скобкой знаки всех членов внутри меняются.

\[a(b+c)=ab+ac\qquad-(b+c)=-b-c\]

ПРИМЕР

3(x+2)−2x=10 ⇒ 3x+6−2x=10 ⇒ x=4.

Обрати внимание

Нельзя раскрыть −(x−3) как −x−3.

Квадратное уравнение

Если a≠0, то ax²+bx+c=0. Сначала вычисли дискриминант. Положительный дискриминант даёт два действительных корня, нулевой — один, отрицательный — ни одного.

\[D=b^2-4ac\qquad x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\]

ПРИМЕР

x²−5x+6=0 ⇒ D=25−24=1; корни 2 и 3.

Обрати внимание

Не забывай знаменатель 2a целиком.

Разложение на множители

Если произведение выражений равно нулю, хотя бы один множитель равен нулю. Метод часто быстрее дискриминанта.

\[AB=0\quad\Longrightarrow\quad A=0\ \text{или}\ B=0\]

ПРИМЕР

(x−4)(x+3)=0 ⇒ x=4 или x=−3.

Обрати внимание

Не сокращай на выражение, которое может обратиться в ноль.

Дробные уравнения

Перед преобразованиями выпиши ограничения: знаменатели не равны нулю. Найденные корни обязательно проверяй на допустимость.

\[\dfrac{A(x)}{B(x)}=0\quad\Longleftrightarrow\quad A(x)=0,\ B(x)\ne0\]

ПРИМЕР

\(\dfrac{(x+2)}{(x-1)}\)=0 ⇒ x=−2, и x≠1, поэтому корень допустим.

Обрати внимание

Посторонние корни часто появляются после умножения на выражение с x.

Уравнения с модулем

Для |A|=b при b>0 решай две ветви: A=b и A=−b. При b=0 одна ветвь, при b<0 корней нет.

\[|x-3|=5\ \Longleftrightarrow\ x-3=5\ \text{или}\ x-3=-5\]

ПРИМЕР

Корни 8 и −2.

Обрати внимание

Нельзя считать, что |A|=b всегда означает только A=b.

Системы уравнений

Можно складывать уравнения для исключения одной переменной или выражать переменную из первого уравнения и подставлять во второе.

\[\begin{aligned}\begin{cases}x+y=8\\x-y=2\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad2x=10\end{aligned}\]

ПРИМЕР

x=5, y=3.

Обрати внимание

Найденная пара должна удовлетворять обоим уравнениям.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Уравнения →

x > ?

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Неравенства

Линейные, системы, интервалы и квадратные неравенства

Линейное неравенство

Выполняй почти те же преобразования, что и в уравнении. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число меняй знак неравенства.

\[-2x<6\quad\Longrightarrow\quad x>-3\]

ПРИМЕР

3x+4>10 ⇒ 3x>6 ⇒ x>2.

Обрати внимание

Знак при делении на −2 меняется: «<» становится «>».

Строгие и нестрогие границы

Условие x>2 исключает 2; условие x≥2 включает 2. При изображении на прямой открытая точка означает исключённую границу, закрашенная — включённую.

\[x>2:\ (2;+\infty)\qquad x\ge2:\ [2;+\infty)\]

ПРИМЕР

Наименьшее целое при x>2 — 3, а при x≥2 — 2.

Обрати внимание

Следи за словами «наибольшее целое», «строго», «не меньше».

Система неравенств

Система требует одновременного выполнения всех условий. Изобрази решения на одной прямой и возьми пересечение промежутков.

\[\begin{aligned}\begin{cases}x>-1\\x\le4\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-1;4]\end{aligned}\]

ПРИМЕР

Подходящие целые: 0,1,2,3,4 — всего 5.

Обрати внимание

Не объединяй промежутки при решении системы: нужно пересечение.

Произведение и метод интервалов

Найди точки, где каждый множитель равен нулю. Разбей прямую на интервалы, определи знак произведения на каждом.

\[(x-2)(x+1)\le0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in[-1;2]\]

ПРИМЕР

Например, x=0: (−2)·1<0; внутри интервала произведение отрицательно.

Обрати внимание

При нестрогом знаке корни включаются, если выражение в них определено.

Квадратные неравенства

График параболы помогает понять, где квадратный трёхчлен положителен или отрицателен. При a>0 ветви вверх; при a<0 — вниз.

\[x^2-4<0\quad\Longleftrightarrow\quad -2<x<2\]

ПРИМЕР

x²<4 ⇒ |x|<2 ⇒ (−2;2).

Обрати внимание

Всегда учитывай знак коэффициента при x².

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Неравенства →

f(x)

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Функции и графики

Линейная функция, парабола, графики и координаты

Понятие функции

Функция сопоставляет каждому допустимому x ровно одно y. Подстановка заданного x позволяет вычислить значение функции. Область определения — значения x, при которых формула имеет смысл.

\[y=f(x)\]

ПРИМЕР

Если f(x)=2x−3, то f(4)=8−3=5.

Обрати внимание

Запись f(4) означает значение функции при x=4, а не произведение.

Линейная функция

График y=kx+b — прямая. Число k определяет наклон: при k>0 функция возрастает, при k<0 убывает. Число b показывает пересечение оси Oy.

\[y=kx+b\]

ПРИМЕР

Для y=3x−2 наклон k=3, пересечение Oy при y=−2.

Обрати внимание

Если k=0, график горизонтален.

Построение прямой

Достаточно выбрать два значения x и вычислить соответствующие y. Нанеси две точки на координатную плоскость и проведи через них прямую.

\[y=2x+1:\quad A(0;1),\ B(1;3)\]

ПРИМЕР

Проверка: при x=1 получаем y=2·1+1=3.

Обрати внимание

Проводить прямую через произвольные, не проверенные подстановкой точки нельзя.

Квадратичная функция

График y=ax²+bx+c — парабола. При a>0 ветви вверх, при a<0 — вниз. Абсцисса вершины находится по формуле −\(\dfrac{b}{(2a)}\); ординату получают подстановкой.

\[x_0=-\dfrac b{2a}\]

ПРИМЕР

y=x²−6x+5 ⇒ x₀=\(\dfrac{6}{2}\)=3, y(3)=9−18+5=−4.

Обрати внимание

У вершины две координаты: x₀ и y₀; не путай их.

Пересечения с осями

На оси Oy координата x равна нулю. На оси Ox координата y равна нулю, поэтому нужно решить уравнение f(x)=0.

\[Oy:\ x=0\qquad Ox:\ f(x)=0\]

ПРИМЕР

Для y=2x−4 пересечение Oy: (0;−4), Ox: (2;0).

Обрати внимание

Точка пересечения с Ox — это пара координат (x;0), а не только x.

Чтение графиков

По графику можно находить значения функции, нули, промежутки возрастания и убывания. При движении слева направо возрастающая функция поднимается.

\[f(x)=0\quad\text{в точках пересечения с }Ox\]

ПРИМЕР

Прямая y=−x+2 убывает и пересекает Ox при x=2.

Обрати внимание

Проверяй масштаб осей: одно деление не всегда равно единице.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Функции и графики →

P(A)

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Вероятность и статистика

Вероятность, среднее, медиана, мода, размах

Классическая вероятность

Если все элементарные исходы равновозможны, вероятность события равна доле благоприятных исходов среди всех.

\[P(A)=\dfrac mn\]

ПРИМЕР

В коробке 3 красных и 7 синих шаров. P(красный)=\(\dfrac{3}{10}\)=0,3.

Обрати внимание

Формула \(\dfrac{m}{n}\) требует равновозможности исходов.

Противоположное событие

Событие «не A» включает все исходы, при которых A не наступает. Вероятности события и его дополнения в сумме дают 1.

\[P(\overline A)=1-P(A)\]

ПРИМЕР

Если шанс дождя 0,2, то шанс отсутствия дождя равен 0,8.

Обрати внимание

Не используй правило 1−P для двух произвольных событий.

Среднее арифметическое

Среднее получают делением суммы всех наблюдений на их число. Повторяющиеся значения учитываются столько раз, сколько они встретились.

\[\overline{x}=\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}\]

ПРИМЕР

Для 5,7,7,9 среднее \(\dfrac{(5+7+7+9)}{4}\)=7.

Обрати внимание

Среднее чувствительно к очень большим и очень маленьким значениям.

Медиана

Отсортируй значения. При нечётном числе наблюдений медиана — центральное значение; при чётном — среднее арифметическое двух центральных.

\[1,2,9\to2\qquad 1,2,9,10\to\dfrac{2+9}2=5{,}5\]

ПРИМЕР

Для 3,4,8,10,11 медиана равна 8.

Обрати внимание

Перед поиском медианы всегда сортируй данные.

Мода и размах

Мода — значение, которое встречается чаще остальных. Размах — разность максимального и минимального значений набора.

\[R=x_{\max}-x_{\min}\]

ПРИМЕР

Для 2,3,3,7 мода 3, размах 7−2=5.

Обрати внимание

Мод может быть несколько; при равных частотах единственная мода может отсутствовать.

Диаграммы и таблицы

В столбчатой диаграмме высота столбца показывает значение. Проверяй единицы измерения и масштаб. Для процентов раздели часть на целое и умножь на 100%.

\[\text{Доля}=\dfrac{\text{часть}}{\text{целое}}\qquad \text{Процент}=\text{Доля}\cdot100\%\]

ПРИМЕР

8 учеников из 20 выбрали математику: доля \(\dfrac{8}{20}\)=0,4, это 40%.

Обрати внимание

Путать долю 0,4 и 0,4% — частая ошибка.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Вероятность и статистика →

S = vt

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Формулы

Подстановка чисел, преобразование формул и единицы измерения

Подстановка в формулу

Перед вычислением убедись, что все значения измерены в согласованных единицах. Подставляй числа в скобках, особенно отрицательные.

\[S=vt\]

ПРИМЕР

При v=60 км/ч, t=2,5 ч получаем S=60·2,5=150 км.

Обрати внимание

Не смешивай километры и метры, часы и минуты без перевода.

Выражение неизвестной величины

Для изменения формулы используй равносильные операции. Например, из S=vt скорость найдётся делением пути на время, а время — делением пути на скорость.

\[v=\dfrac St\qquad t=\dfrac Sv\]

ПРИМЕР

Если S=240 км, t=3 ч, то v=80 км/ч.

Обрати внимание

Деление на ноль недопустимо.

Геометрические формулы

Периметр — сумма длин границ, площадь измеряется квадратными единицами. Для прямоугольника P=2(a+b), S=ab.

\[S_{\triangle}=\dfrac{bh}2\qquad S_{\text{трап}}=\dfrac{(a+b)h}2\]

ПРИМЕР

Основания трапеции 8 и 12, высота 5: S=20·\(\dfrac{5}{2}\)=50.

Обрати внимание

Периметр измеряют в см, площадь — в см².

Формулы физики

Часто задачи прямо дают формулу, например для массы m=ρV, работы A=Fs или количества теплоты Q=cmΔt. Нужно правильно определить, какую переменную ищут.

\[m=\rho V\qquad A=Fs\qquad Q=cm\Delta t\]

ПРИМЕР

Если ρ=2 кг/л и V=5 л, масса m=10 кг.

Обрати внимание

Не нужно заучивать формулы, которые уже есть в условии: важнее уметь в них подставлять.

Перевод единиц

Запиши соотношение единиц до подстановки. Например, 1 м = 100 см, 1 ч = 60 мин, 1 м² = 10 000 см².

\[1\text{ км}=1000\text{ м}\qquad1\text{ ч}=60\text{ мин}\]

ПРИМЕР

90 км/ч = 90·\(\dfrac{1000}{3600}\) = 25 м/с.

Обрати внимание

При переводе площадей коэффициент перевода возводится в квадрат.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Формулы →

△

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Геометрия

Углы, треугольники, окружности, площади, подобие и клетчатая бумага

Углы и прямые

Смежные углы дают в сумме 180°, вертикальные углы равны. При параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны.

\[\alpha+\beta=180^\circ\]

ПРИМЕР

Если один смежный угол 65°, второй 115°.

Обрати внимание

Не называй любые соседние углы смежными: их внешние стороны должны образовывать прямую.

Сумма углов треугольника

Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии равна 180°. В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90°.

\[\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\]

ПРИМЕР

Если два угла 35° и 65°, третий 80°.

Обрати внимание

В равнобедренном треугольнике равны углы при основании, а не все углы.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза лежит напротив прямого угла.

\[a^2+b^2=c^2\]

ПРИМЕР

При катетах 6 и 8 гипотенуза √(36+64)=10.

Обрати внимание

Нельзя применять теорему к произвольному непрямоугольному треугольнику.

Площади многоугольников

Площадь прямоугольника — произведение сторон; треугольника — половина произведения основания и высоты; параллелограмма — произведение основания на высоту.

\[S_{\text{прям}}=ab\qquad S_{\triangle}=\dfrac{ah}2\qquad S_{\text{паралл}}=ah\]

ПРИМЕР

Основание треугольника 12 см, высота 7 см: S=42 см².

Обрати внимание

Высота обычно не равна наклонной стороне.

Окружность и круг

Радиус соединяет центр с точкой окружности, диаметр равен двум радиусам. Длина окружности и площадь круга выражаются через π.

\[d=2r\qquad L=2\pi r\qquad S=\pi r^2\]

ПРИМЕР

При r=3: L=6π, S=9π.

Обрати внимание

Не путай длину окружности и площадь круга.

Вписанные и центральные углы

Центральный угол измеряет дугу, на которую он опирается. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое меньше центрального.

\[\angle ACB=\dfrac12\angle AOB\quad\text{(та же дуга)}\]

ПРИМЕР

Если центральный угол 100°, вписанный, опирающийся на ту же дугу, равен 50°.

Обрати внимание

Важно, чтобы оба угла опирались на одну и ту же дугу.

Подобие треугольников

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны с одним коэффициентом. Площади относятся как квадраты коэффициента подобия.

\[\dfrac{S_2}{S_1}=k^2\]

ПРИМЕР

При увеличении всех сторон в 3 раза площадь растёт в 9 раз.

Обрати внимание

Площади не относятся линейно с коэффициентом k.

Клетчатая бумага

Площадь прямоугольника удобно считать по числу клеток. Для треугольника используйте половину произведения основания на высоту. Для сложной фигуры можно вычесть лишние части из окружающего прямоугольника.

\[S_{\triangle}=\dfrac{bh}2\]

ПРИМЕР

Треугольник с основанием 6 клеток и высотой 4 клетки занимает 12 клеток².

Обрати внимание

Следи за размером клетки: её сторона не всегда 1 см.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Геометрия →

aₙ

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Последовательности

Арифметическая и геометрическая прогрессии, формулы n-го члена и суммы

Что такое последовательность

Последовательность задаёт список чисел в определённом порядке. Число aₙ — n-й член последовательности; номер n обычно натуральный.

\[a_1,a_2,\dots,a_n\]

ПРИМЕР

В последовательности 2,5,8,11,... четвёртый член равен 11.

Обрати внимание

Номер члена и его значение — разные вещи.

Арифметическая прогрессия

Разность соседних членов постоянна и называется d. Каждый следующий член получается прибавлением d к предыдущему.

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

ПРИМЕР

Если a₁=4, d=3, то a₆=4+5·3=19.

Обрати внимание

Для aₙ множитель именно n−1, а не n.

Сумма арифметической прогрессии

Сумму n первых членов можно найти как полусумму первого и последнего, умноженную на число членов.

\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}2\]

ПРИМЕР

Для 2,4,6,8 сумма равна 4·\(\dfrac{(2+8)}{2}\)=20.

Обрати внимание

Последний член aₙ сначала найди правильно.

Геометрическая прогрессия

Отношение соседних членов, если предшествующий не ноль, постоянно и называется знаменателем q. Следующий член — предыдущий, умноженный на q.

\[b_n=b_1q^{n-1}\]

ПРИМЕР

Если b₁=3, q=2, то b₅=3·2⁴=48.

Обрати внимание

В геометрической прогрессии используют умножение, а не прибавление q.

Сумма геометрической прогрессии

Для q≠1 сумму первых n членов можно выразить через первый член, знаменатель и количество членов. При q=1 каждый член равен первому.

\[S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1},\ q\ne1\qquad S_n=nb_1,\ q=1\]

ПРИМЕР

1+2+4+8=1·\(\dfrac{(2⁴-1)}{(2-1)}\)=15.

Обрати внимание

Не подставляй q=1 в дробную формулу: возникнет деление на ноль.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Последовательности →

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Практические задачи

Скидки, тарифы, движение, масштаб, покупки и измерения

Сюжет и величины

Сначала выпиши, что дано и что требуется найти. Выбери подходящую формулу и внимательно проверь единицы измерения.

\[\text{Стоимость}=\text{количество}\cdot\text{цена единицы}\]

ПРИМЕР

3 тетради по 45 рублей стоят 3·45=135 рублей.

Обрати внимание

Не смешивай стоимость одной штуки и целой упаковки.

Скидки и наценки

Процент изменения считай от первоначальной величины. При скидке p% итоговая цена равна исходной, умноженной на (1−\(\dfrac{p}{100}\)); при наценке — на (1+\(\dfrac{p}{100}\)).

\[\text{Новая цена}=a\left(1-\dfrac{p}{100}\right)\]

ПРИМЕР

Цена 1200 руб., скидка 25%: 1200·0,75=900 руб.

Обрати внимание

Несколько последовательных изменений процентов считаются от текущей цены.

Движение

Связь пути, скорости и времени: S=vt. При встречном движении скорости складывают для скорости сближения; при догоняющем — вычитают.

\[S=vt\qquad t=\dfrac Sv\]

ПРИМЕР

За 2,5 ч при 64 км/ч проедут 160 км.

Обрати внимание

Преобразуй минуты в часы перед вычислением пути в километрах.

Тарифы и сравнение предложений

Запиши стоимость каждого предложения как «фиксированная плата + цена за единицу × количество». Выбери меньшее итоговое значение и проверь ограничения в условии.

\[\text{Стоимость}=\text{фикс. плата}+\text{тариф}\cdot\text{объём}\]

ПРИМЕР

Тариф А: 100+5·20=200; тариф Б: 40+8·20=200 — одинаково.

Обрати внимание

Самая низкая цена за единицу не всегда даёт минимальный общий счёт.

Площади, упаковки и округление

Когда покрывают поверхность плиткой, сначала посчитай площадь одной плитки и всей поверхности. Если продают только целые упаковки, округляй количество упаковок вверх.

\[N=\left\lceil\dfrac{S_{\text{покрытия}}}{S_{\text{плитки}}}\right\rceil\]

ПРИМЕР

На 12 м² при плитке 0,5×0,5 м потребуется \(\dfrac{12}{0{,}25}\)=48 плиток.

Обрати внимание

Если нужно 3,2 упаковки, покупать придётся 4, а не 3.

Масштаб и планы

Масштаб 1:n означает, что 1 единице длины на плане соответствует n таких же единиц в действительности. Затем переведи единицы в удобный формат.

\[L_{\text{реальная}}=L_{\text{на плане}}\cdot n\]

ПРИМЕР

При масштабе 1:1000 отрезок 3 см соответствует 3000 см = 30 м.

Обрати внимание

Не забывай перевод сантиметров в метры после расчёта.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Практические задачи →

Вся теория.

Числовая прямая

Модуль

Расстояние между точками

Середина отрезка

Промежутки и целые точки

Порядок действий

Обыкновенные дроби

Десятичные дроби

Проценты

Среднее арифметическое

Степень с целым показателем

Нулевой и отрицательный показатели

Арифметический квадратный корень

Корни и произведения

Формулы сокращённого умножения

Линейное уравнение

Уравнения со скобками

Квадратное уравнение

Разложение на множители

Дробные уравнения

Уравнения с модулем

Системы уравнений

Линейное неравенство

Строгие и нестрогие границы

Система неравенств

Произведение и метод интервалов

Квадратные неравенства

Понятие функции

Линейная функция

Построение прямой

Квадратичная функция

Пересечения с осями

Чтение графиков

Классическая вероятность

Противоположное событие

Среднее арифметическое

Медиана

Мода и размах

Диаграммы и таблицы

Подстановка в формулу

Выражение неизвестной величины

Геометрические формулы

Формулы физики

Перевод единиц

Углы и прямые

Сумма углов треугольника

Теорема Пифагора

Площади многоугольников

Окружность и круг

Вписанные и центральные углы

Подобие треугольников

Клетчатая бумага

Что такое последовательность

Арифметическая прогрессия

Сумма арифметической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Сумма геометрической прогрессии

Сюжет и величины

Скидки и наценки

Движение

Тарифы и сравнение предложений

Площади, упаковки и округление

Масштаб и планы