Степени и корни

√x

ТЕОРИЯ / МАТЕМАТИКА

Законы степеней, арифметический корень и формулы сокращённого умножения

Степень с целым показателем

При умножении одинаковых оснований показатели складывают; при делении (если основание не ноль) — вычитают. Степень степени получается умножением показателей.

\[a^m\cdot a^n=a^{m+n}\qquad \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\qquad (a^m)^n=a^{mn}\]

ПРИМЕР

2⁷ : 2⁴ = 2³ = 8.

Обрати внимание

Нельзя складывать показатели при сложении: 2² + 2³ ≠ 2⁵.

Нулевой и отрицательный показатели

При a≠0 нулевая степень равна единице. Отрицательный показатель означает обратное число в соответствующей положительной степени.

\[a^0=1\qquad a^{-n}=\dfrac1{a^n},\ a\ne0\]

ПРИМЕР

5⁻² = \(\dfrac{1}{25}\).

Обрати внимание

0 в отрицательную степень возводить нельзя.

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из a≥0 — единственное неотрицательное число, квадрат которого равен a.

\[\sqrt{a^2}=|a|\]

ПРИМЕР

√144 = 12; √((−5)²) = 5.

Обрати внимание

Не забывай модуль в равенстве √(a²)=|a|.

Корни и произведения

Для неотрицательных чисел корень из произведения равен произведению корней. Для суммы аналогичного правила нет.

\[\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b\quad (a,b\ge0)\]

ПРИМЕР

√(9·16)=3·4=12.

Обрати внимание

√(a+b) обычно не равно √a+√b.

Формулы сокращённого умножения

Используй формулы для быстрого раскрытия скобок и разложения многочленов на множители.

\[\begin{aligned}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\a^2-b^2=(a-b)(a+b)\end{aligned}\]

ПРИМЕР

(x+3)²=x²+6x+9.

Обрати внимание

Средний член 2ab при возведении суммы в квадрат обязателен.

Прочитал тему? Закрепи её задачами.Тренировка откроется сразу с упражнениями по теме.

Практика: Степени и корни →

Степени и корни.

Степень с целым показателем

Нулевой и отрицательный показатели

Арифметический квадратный корень

Корни и произведения

Формулы сокращённого умножения